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「CF961E 题解：深入剖析问题与算法设计」

问题背景与题意简述

Codeforces 961E（题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/961/E）是一道经典的算法竞赛题目，考察对数据结构的灵活运用和数学思维的结合，题目大意如下：

给定一个长度为 ( n ) 的整数序列 ( a_1, a_2, \ldots, a_n )，求满足以下条件的二元组 ( (i, j) ) 的数量：

( 1 \leq i < j \leq n )；
( a_i \geq j ) 且 ( a_j \geq i )。

初步分析

直接暴力枚举所有 ( (i, j) ) 的组合时间复杂度为 ( O(n^2) )，当 ( n \leq 2 \times 10^5 ) 时会超时，因此需要更高效的算法。

关键观察：

对于每个 ( i )，我们需要统计满足 ( j > i ) 且 ( j \leq a_i ) 且 ( a_j \geq i ) 的 ( j ) 的数量。
可以将问题转化为：对每个 ( j )，查询有多少 ( i < j ) 满足 ( i \leq a_j ) 且 ( a_i \geq j )。

算法设计

利用离线处理和树状数组（Fenwick Tree）：

离线处理：按 ( j ) 从小到大遍历，动态维护满足条件的 ( i )。
树状数组：维护已处理的 ( a_i ) 值，支持快速查询满足 ( a_i \geq j ) 的 ( i ) 的数量。

具体步骤：

预处理所有 ( a_i )，并限制 ( a_i \leq n )（因为 ( j \leq n )）。
按 ( j ) 从 ( 1 ) 到 ( n ) 遍历：
- 将满足 ( i < j ) 且 ( a_i \geq j ) 的 ( i ) 加入树状数组。
- 查询树状数组中 ( i \leq a_j ) 的数量，累加到答案中。

代码实现（伪代码）

using ll = long long;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N], n;
ll ans = 0;
struct FenwickTree {
    int tree[N];
    void update(int x) { for (; x <= n; x += x & -x) tree[x]++; }
    int query(int x) { int res = 0; for (; x > 0; x -= x & -x) res += tree[x]; return res; }
} ft;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        a[i] = min(a[i], n); // 限制a[i]不超过n
    }
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        if (j > 1) {
            ans += ft.query(a[j]) - ft.query(j - 1);
        }
        if (a[j] >= j) ft.update(j);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}